微分積分はなぜ難しいのか

微分積分を習う以前の数学は、具体的な現象のほうが表現が強力だが、微分積分から抽象的な表現のほうが強力な表現になっていく境界なので、「微分積分むずい」とかになるんだろうな。とか妄想。

中学までの数学、あれ？中学って算数なんだっけ…そもそも算数と数学を分けてる意味ってなんだ。http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E6%95%B0 要出典がひどい。

えーと…それはどっちでもよくて…

中学までの数学は生活における現象とのマッピングが一対一にできる。
(いや、イチゴやリンゴ、みかんでは大きな値が表現できないけど、まあ、そういう値は特殊な例なので…)

わかりやすい説明のために、生活における具体的な現象を例にあげて説明する、という行為がよく行われている。

だが、高校以降、微分積分、三角関数が出てくるあたりから、抽象表現の表現力が生活における現象で表現できる範囲をこえてしまい、抽象的な数式で表現したほうがわかりやすい場面というのが出てくる。
例えば、微小時間というのは、ごく短い時間のことであって、0.1msや0.1usのことではない、0.1msや0.1usでは、加速する車の位置は計算できない。

ここで、「抽象と具象の表現の強力さの逆転」が発生するのである。

微分積分というのは、実際あまりむずかしくない。
最初に習うレベルなら、暗記だけでも解けるようなものなので、あれだったら、四桁のかけざんのほうがよっぽど難しいだろうと思う。(九九では81個もの式を暗記している!)
が、しかしそれでも「微積分むずい」と、多くの人が言うのは、そういう、「抽象表現が具体的現象よりも強力になる」と、いうのがあるだろうと思う。

で、ここで、関数(=抽象概念)に対する操作、という概念を理解してもらうために、高校生にプログラミングを教えればどうか、と思ったが、「数学の微積分を理解できる人の割合」と、「プログラムの後悔関数を理解できる人の割合」てどっちが多いんだろうか、とか考えて、あまり意味無いと思った。

いやでも、「f+g の微分」「f・gの微分」「f(g)の微分」があれば多くの簡単な関数が微分できるという概念は、あれプログラム先に教えてくれたら現役時代の僕にも完全に理解できたのにと思うよ（あれは再帰なんだよ！当時の自分！)